Fondamenti della meccanica atomica
dove si è incorporato il fattore 2i nella costante arbitraria Cn. La condizione di normalizzazione ci dà poi
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Bisogna invece considerare non una autofunzione, corrispondente ad un valore determinato di λ (ci riferiamo per ora solo alla y(1) od alla y(2)), ma
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formula che si identifica con la (53), purchè si ponga . Con queste sostituzioni la (54) ci fornisce allora per A la seguente espressione:
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, sia infine perchè fornisce la base di un linguaggio comodo ed espressivo, di cui ci serviremo correntemente.
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, ci possiamo accorgere che una particella materiale ha compiuto un «atto elementare di emissione», o dal fatto che la sua energia è diminuita senza che
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volume, poichè nelle questioni di fisica atomica di cui qui ci occupiamo il nucleo interverrà sempre come un corpuscolo unitario e di dimensioni
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diffusione, e che quindi la velocità dopo la misura (che è quella che ci interessa) è
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. Se però ci si contenta di una meccanica ondulatoria valida con l'approssimazione con cui è valida l'ordinaria meccanica non relativistica (ossia per
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soddisfa evidentemente la stessa equazione (131) della , ed ha lo stesso modulo, cosicchè la sua considerazione non ci dà nulla di nuovo.
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Ci limiteremo qui a rilevare che si può avere una valutazione del valore medio del campo elettrico, o magnetico
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Quanto alla radiazione emessa, ci limiteremo ad enunciare il risultato essenziale della teoria di Dirac. Se il sistema al tempo 0 si trova in uno
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Calcolata così la , la ci dà la P(x) al tempo t: per scrivere in forma semplice il quadrato del modulo dell'espressione (171), conviene introdurre la
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figure: questo implica una relazione tra le ampiezze delle due sinusoidi estreme, relazione di cui ora troveremo l'espressione analitica, che ci
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. Noi ci limiteremo a far rilevare che le formule del § precedente lasciano prevedere che l'intensità della corrente elettronica emessa risulti espressa
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scartata: perciò . Similmente l'altro punto singolare ci dà , con olomorfa e non nulla in . Poichè queste due espressioni devono rappresentare due sviluppi
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dipendente da e da (cioè la funzione sferica ) è già stato discusso al § 46, essendo comune a tutti i problemi di forze centrali, ci resta da esaminare il
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Un'altra proprietà notevole dei polinomi di Laguerre, che ci limitiamo ad enunciare, è quella espressa dalla formula ricorrente
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La (285), insieme con l'espressione già trovata (v. form. 245 e 246) per , ci permette di scrivere l' espressione completa dell'autofunzione
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più lungo, e perciò non lo riportiamo, e ci limitiamo a riferire il risultato essenziale. Si trova che i tre integrali (nei quali, naturalmente, in
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dove è una costante per ora indeterminata, e che non ci interessa. Questa espressione si deve ricollegare ad una della forma (301), valida nella
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libertà è periodico esso è dunque f —1 volte degenere. I sistemi degeneri si presentano assai spesso nelle questioni di fisica atomica ma di essi ci
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L'ultima, essendo costante, ci dà subito
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(1) Ci riferiamo per semplicità alle orbite circolari, ma il ragionamento si estende subito alle orbite ellittiche, sostituendo a e P con i loro
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distingue senza difficoltà da quella diffusa, e non ci interessa ora fissare su di essa l'attenzione.
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La formula (341) permette di calcolare la frequenza delle varie componenti di ciascuna riga: noi ci limiteremo ad osservare che le differenze di
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Si vedrà inoltre che il «modello vettoriale» di cui qui ci serviamo (vettore suscettibile di orientazioni discrete) non rappresenta del tutto
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Nel seguito ci occuperemo solo degli operatori lineari(o. l.) cioè di quelli che godono le due proprietà seguenti:
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La classe degli operatori lineari gode delle proprietà di alto interesse matematico (v. bibl. n. 33): noi ci limiteremo qui alle nozioni essenziali
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Esempio. - Sia l'identità . Allora la (23) ci dà
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Nel seguito, ci occuperemo soltanto di operatori hermitiani e di matrici hermitiane.
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più avanti) sempre reali: essi costituiscono un sistema completo di funzioni ortogonali, e possono essere continui o discreti: generalmente ci
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(x) si chiama una funzione impropria: ad essa però ci si può approssimare quanto si vuole mediante funzioni analitiche (1) L'uso della funzione
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L'introduzione della funzione impropria ci permette di considerare formalmente gli assi dello spazio hilbertiano che abbiamo chiamati «continui» al
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un miscuglio, e si potrà decomporlo in tanti insiemi parziali, ciascuno dei quali rappresenta un caso puro. Nel seguito ci riferiremo, salvo
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esteso, mentre nelle considerazioni che ci hanno condotto all'equazione di SCHRÖDINGER nella p. II ci riferivamo al caso limite di un pacchetto
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In generale ci si limita a considerare integrali primi che non contengono esplicitamente t. Allora la (122) diviene
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La maggior copia di elementi per la conoscenza degli atomi ci è fornita dalla spettroscopia, la quale, oltre che dal grandissimo numero di dati che
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La giustificazione di questa estensione dell'equazione di Schrödinger è data dal teorema seguente che ci limitiamo ad enunciare (I) Per la
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: tuttavia il punto di vista dal quale era presentato allora era notevolmente diverso da quello che abbiamo ora accennato, al quale ci atterremo nel seguito
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e ci dice che le quantità formano una successione aritmetica, di ragione : il primo elemento di questa successione è dato dalla, (163) ed è
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Ci troviamo qui per la prima volta di fronte ad un'hamiltoniana dipendente da t: postuliamo che anche per essa valga, l'equazione temporale di
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che, sostituiti nella (221), ci danno lo stato perturbato in prima approssimazione.
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successive; noi però ci limiteremo alla prima.
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L'ampiezza della probabilità di transizione dallo stato n allo stato , dopo un tempo di azione della perturbazione, ci è data dalla (230'), che
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Il Bohr propose tale teoria per interpretare la serie di Balmer e le altre affini ed a questo caso ci riferiremo nell'esporla, ma il suo concetto
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e, ricordando che per la soluzione di cui ci occupiamo si ha j = / 1/2,
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elettrico o magnetico ci limiteremo a citare i risultati seguenti:
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: noi però ci limitiamo alla considerazione della meccanica degli atomi, rimandando per le molecole ad altro volume.
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Una notissima proprietà fondamentale delle equazioni di cui ci occupiamo è che, trovati due integrali particolari , che siano indipendenti (cioè tali
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(dove P, come risulta dalla (11), è sempre positivo). Nel seguito, ci riferiremo in genere, salvo indicazione contraria, ad equazioni di questo tipo
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Accademia della crusca
